माना f(x) = begin{cases} x^p sin left( frac{1 | vedclass

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Question

(C) माना $g(x) = x|x^3|$ है। चूँकि $x \ge 0$ के लिए $g(x) = x^4$ और $x < 0$ के लिए $g(x) = -x^4$ है,इसलिए $g(x)$,$x=0$ पर $3$ बार अवकलनीय है और $g''(0

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$(4, \infty)$

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(C) माना $g(x) = x|x^3|$ है। चूँकि $x \ge 0$ के लिए $g(x) = x^4$ और $x अब $h(x) = x^p \sin \left( \frac{1}{x} ight)$ ($x 
eq 0$ के लिए) और $h(0) = 0$ पर विचार करें।$h'(0)$ के अस्तित्व के लिए,$\lim_{h 	o 0} \frac{h^p \sin(1/h)}{h} = 0$ होना चाहिए,जिसके लिए $p > 1$ आवश्यक है। तब $h'(0) = 0$ होगा।$x 
eq 0$ के लिए,$h'(x) = p x^{p-1} \sin \left( \frac{1}{x} ight) - x^{p-2} \cos \left( \frac{1}{x} ight)$ है।$h''(0)$ के अस्तित्व के लिए,$\lim_{h 	o 0} \frac{h'(h) - h'(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \left( p h^{p-2} \sin \left( \frac{1}{h} ight) - h^{p-3} \cos \left( \frac{1}{h} ight) ight) = 0$ होना चाहिए,जिसके लिए $p > 3$ आवश्यक है। तब $h''(0) = 0$ होगा।$x 
eq 0$ के लिए,$h''(x) = p(p-1) x^{p-2} \sin \left( \frac{1}{x} ight) - 2(p-1) x^{p-3} \cos \left( \frac{1}{x} ight) - x^{p-4} \sin \left( \frac{1}{x} ight)$ है।$h''(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0} h''(x) = h''(0) = 0$ होना चाहिए। इसके लिए सभी पदों में $x$ का घातांक धनात्मक होना चाहिए,विशेष रूप से $p-4 > 0$,अतः $p > 4$।

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$f(x) = \begin{cases} \frac{\log x}{x-1}, & \text{यदि } x \neq 1 \\ k, & \text{यदि } x=1 \end{cases}$ $x=1$ पर सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

जाँच कीजिए कि क्या $f(x) = x^{2}$ द्वारा दिया गया फलन $f$,$x = 0$ पर संतत है।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 3x - 10}{x^2 + 2x - 15}, & x \neq -5 \\ a, & x = -5 \end{cases}$ बिंदु $x = -5$ पर सतत है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} x \sin x, & 0 < x \le \frac{\pi}{2} \\ \frac{\pi}{2} \sin(\pi + x), & \frac{\pi}{2} < x < \pi \end{cases}$,तो

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} 5, & \text{यदि } x \le 2 \\ ax + b, & \text{यदि } 2 < x < 10 \\ 21, & \text{यदि } x \ge 10 \end{cases}$ एक सतत फलन है,तो $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

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